笛卡尔闭簇 II：与代数及自相似性的联系

本文是考察笛卡尔闭簇的系列文章的第二篇。在第一篇中，我们证明了每个非退化的有限元笛卡尔簇都是配备由布尔代数 B 与幺半群 M 作用的集合的簇，二者相互作用形成我们所称的匹配对 [B|M]。在本文中，我们证明此类对 [B|M] 等价于布尔限制幺半群，也等价于充裕源-étale 拓扑范畴；这些是布尔逆幺半群与充裕 étale 拓扑群胚的推广，后者用于编码诸如 Cuntz 与 Cuntz–Krieger $C^\ast$-代数、Leavitt 路代数以及与自相似群作用相关的 $C^\ast$-代数等自相似结构。我们解释并阐明了这些联系，并启动了从相关簇的逻辑视角理解此类群胚的拓扑与代数性质的研究纲领。