论对称性破缺不等式的几何

打破对称性是一种加速对称整数规划分支定界法的常用方法。我们研究基本域，即极小且闭的对称性破缺多面体。我们的长期目标是理解此类多面体的复杂度与其对称性破缺能力之间的关系。借鉴几何群论的思想，我们提供了将群作用与基本域面的几何相关联的结构性质。受这些见解启发，我们给出了一种基本域的新的广义构造，称之为广义 Dirichlet 域（GDD）。我们的构造是递归的，并利用了在 $\mathbb{R}^n$ 中固定给定向量的子群的陪集分解。我们利用该构造分析了 Salvagnin（2018）与 Liberti 和 Ostrowski（2014）最近引入的一组对称性破缺不等式，称为 Schreier-Sims 不等式。特别地，这表明每个置换群都存在一个少于 $n$ 个面的基本域。我们还证明该界是紧的。最后，我们证明对于给定置换群 $G$，Schreier-Sims 不等式可包含指数数量的同构二元向量，这提供了该基本域缺乏对称性破缺有效性的证据。相反，为此 $G$ 适当构造的 GDD 具有线性数量的不等式，并为同构二元向量包含唯一代表元。