数据中对称性的参数化

对称性在理解自然现象和数学结构中起着基础性作用。本工作发展了一套全面的理论，用于研究度量空间中有限点构型在参数化下的持续对称性与不对称程度。借助范畴论与span范畴，我们定义了持续对称群，并引入了称为对称条形码与多重条形码的新型不变量，这些不变量捕捉了对称性在参数演化过程中的诞生、消亡、持续与重现。我们为这些不变量建立了度量与稳定性定理。对称类型的概念通过等距群在构型空间中的作用得以形式化。为了定量刻画对称性与不对称性，我们引入了对称度与对称缺陷等度量，后者揭示了在欧几里得设定下与近似群论的联系。此外，我们发展了持续群的持续表示理论，推广了经典的持续模分解定理。进一步提出了持续群上的持续傅里叶分析，以刻画包括对称性破缺与相变在内的动态现象。我们给出了在低维空间中计算对称群、不变量与对称缺陷的算法，并辅以将对称分析扩展到几何语境之外的讨论。因此，本工作在几何群论、拓扑数据分析、表示论与机器学习之间架起了桥梁，为数据的参数化对称性分析提供了新颖的工具。