无质量类 QCD 理论中算符混合的几何性质

我们重新考察无质量类 QCD 理论中的算符混合。特别地，我们探讨在何种条件下存在一种重整化方案，使得坐标表示下的重整化混合矩阵 $Z(x, \mu)$ 在所有微扰阶可对角化。作为关键步骤，我们给出了重整化的微分几何解释，使得我们能将 Poincar\'e-Dulac 定理应用于上述问题：我们将重整化方案的变换解释为（形式）全纯规范变换，将 $-\frac{\gamma(g)}{\beta(g)}$ 解释为在 $g=0$ 处具有 Fuchsian 奇点的（形式）亚纯联络，并将 $Z(x,\mu)$ 解释为 Wilson 线，其中 $\gamma(g)=\gamma_0 g^2 + \cdots$ 为反常维数矩阵，$\beta(g)=-\beta_0 g^3 +\cdots$ 为 beta 函数。作为 Poincar\'e-Dulac 定理的结果，若矩阵 $\frac{\gamma_0}{\beta_0}$ 的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots$ 按非增次序 $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \cdots$ 排列，且满足非共振条件 $\lambda_i -\lambda_j -2k \neq 0$（$i\leq j$，$k$ 为正整数），则存在一种重整化方案，其中 $-\frac{\gamma(g)}{\beta(g)} = \frac{\gamma_0}{\beta_0} \frac{1}{g}$ 在所有微扰阶为一圈精确。若此外 $\frac{\gamma_0}{\beta_0}$ 可对角化，则 $Z(x, \mu)$ 也可对角化，且混合本质上约化为乘性重整化情形。我们还借助 Poincar\'e-Dulac 定理对剩余的算符混合情形进行了分类。