关于 $G$-范数几何的研究

设 $X$ 和 $Y$ 为 Banach 空间，且 $G \in L(X,Y)$ 且 $||G||=1$。我们研究 $G$-(半)范数在 $L(X,Y)$ 上的几何结构，定义为 $||T||_G := \inf_{\delta>0}\sup\{\|Tx\|: \|x\|=1, \|Gx\|>1-\delta\}$，其中我们将其称为范数（$G$-范），并进一步探讨其相关数值指标。特别地，我们刻画了相对枪形算子，即数值半径相对于 $G$ 与 $G$-范相等的算子。建立了数值指标之间的关系及其在等距同构下的不变性。我们进一步获得了 $(L(X,Y),\|\cdot\|_G)$ 对偶单位球的描述，并刻画了其单位球的光滑点。在有限维 Hilbert 空间中，我们证明了相对枪形算子是部分等距算子。最后，我们给出 $G$-范由范值取得集中的范值取得算子 $G$ 所满足的等价标准。