离散赋值域中广义二项式系数分布的生成多项式

对于一个具有极大理想 $\mathfrak{m}$ 且剩余域 $V/\mathfrak{m}$ 有限的离散赋值域 $V$，存在一个定义在 $V$ 的商域 $K$ 上的多项式序列 $(F_n(x))_{n \ge 0}$，该序列构成 $V$-模 $\text{Int}(V) = \{f \in K[x] | f(V)\subseteq V\}$ 的一组基。这个多项式序列与经典二项式多项式 $(\binom{x}{n})_{n \ge 0}$ 有许多相似之处。在本文中，我们引入了一个生成多项式来描述多项式 $F_n(x)$ 的 $V$-值在极大理想 $\mathfrak{m}$ 下的分布，并证明了一个结果，该结果提供了一种精确计数多项式 $(F_n(x))_{n \ge 0}$ 的 $V$-值落入每个模 $\mathfrak{m}$ 剩余类中数量的方法。本文的主要定理可视为经典 Garfield 和 Wilf 定理在离散赋值域背景下的一个类比。