广义 Langevin 方程与 Mori 投影算子技术

在统计物理学中，Nakajima-Mori-Zwanzig 投影算子形式化用于推导 Hilbert 空间中可观测量的积分微分方程，即广义 Langevin 方程 (GLE)。该技术依赖于将动力学划分为投影部分与正交部分。然而，正交动力学的抽象 Cauchy 问题的良好性仍是开放问题。此外，很少讨论 Dyson 同一式（用于推导 GLE）成立的条件。本文针对 rank-one 投影 (Mori 投影) 对此问题进行了考察。对于 Mori 投影，正交动力学由有界扰动定理得到。强连续半群的常数变公式随后得到 GLE 与第二个润落-瑞达定理 (2FDT)。我们证明，常数变公式可被替换为极限过程，以给出不要求波动力学光滑性的 GLE 与 2FDT 的一般性证明。此外，我们提供一种不依赖有界扰动定理的替代方法。我们的起点是观察到 GLE 与 2FDT 唯一确定波动力学以及记忆核。进一步地，正交动力学的轨道映射可直接通过解线性 Volterra 方程来定义。随后从该定义直接证明所有所需的正交动力学性质。特别地，正交动力学是生成器为 $\overline{\mathcal{QL}}\mathcal{Q}=\mathcal{QLQ}$ 的强连续半群，其中 $\mathcal{L}$ 为时间演化算子的生成器，$\mathcal{P}=1-\mathcal{Q}$ 为 Mori 投影算子。我们的结果适用于时间演化由强连续半群给出的一般自治动力学系统。