关于 Rendall 的分数密度梯度爆破猜想

在指数膨胀的 Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker（FLRW）时空上，存在一类独特的相对论欧拉方程的空间齐次各向同性解族，其具有形式为 $p=\sigma \rho$ 的线性状态方程，其中 $\sigma \in [0,1]$ 为声速平方。将这些解限制于常时间超曲面可得唯一生成它们的初始数据。本文中，对于满足 $\frac{1}{3}<\sigma <\frac{k+1}{3k}$ 且 $k\in \mathbb{Z}_{>\frac{3}{2}}$ 的声速，我们证明充分接近空间齐次各向同性数据的 $\mathbb{T}^2$-对称初始数据唯一生成存在至未来全局的 $\mathbb{T}^2$-对称相对论欧拉方程解。此外，若 $k\in \mathbb{Z}_{>\frac{5}{2}}$，我们证明存在 $\mathbb{T}^2$-对称初始数据的开集，其分数密度梯度在类时无穷远处无界。这在指数膨胀 FLRW 时空上相对论流体的受限设定下，严格证实了 Rendall 在 \cite{Rendall:2004} 中所猜想的分数密度梯度爆破情形。