不可压缩 Euler 方程的时空统计解与 Landau-Lifshitz 涨落流体动力学

我们严格研究了在 $d\geq 2$ 的 $d$ 维环面上不可压缩流体的 Landau-Lifschitz 涨落流体动力学方程解的无穷 Reynolds 极限。这些方程模拟了流体中热涨落的效应，在标准物理诠释中被视为低波数“有效场论”，而非随机偏微分方程。我们特别研究了在空间上具有某种先验 Besov 正则性的解，正如从受驱的湍流稳态系综中选取的初始数据所预期的那样。我们仔细讨论了该正则性假设（在 Reynolds 数下一致）的经验基础，包括来自包含热涨落的湍流数值模拟的证据。考虑 Landau-Lifschitz 方程的初值问题，我们的主要结果是，无穷 Reynolds 数极限是 Vishik & Fursikov 意义下的不可压缩 Euler 方程的时空统计解。此类解由时空速度场上的概率测度描述，其实现是不可压缩 Euler 方程的弱解或分布解，且均具有相同的给定初始数据。结合近期表明这些概率测度非平凡的数值证据，我们的定理表明，凸积分研究所揭示的 Euler Cauchy 问题解的数学非唯一性可以在物理上实现。为了支持自发随机性理论，无穷 Reynolds 极限中的任何持续随机性都与理想 Euler 方程非唯一解上的非平凡概率分布相关联。