关于$H^i(\Gamma_{n,s})$的FI-模结构

群$\Gamma_{n,s}$根据某些图的同伦等价定义，并且是$\mbox{Out}(F_n)$和$\mbox{Aut}(F_n)$的自然推广。它们频繁出现在自由群自同构的研究中，例如在[8,9]中同调稳定性的证明以及[1]中Out$(F_n)$是虚对偶群的证明。最近，在[5]中，它们在特征零域上的上同调$H^i(\Gamma_{n,s})$在秩$n=1, 2$时被计算，给出了$\mbox{Out}(F_n)$和$\mbox{Aut}(F_n)$不稳定同调类的新构造。本文中我们证明，对于固定的$i$和$n$，该上同调$H^i(\Gamma_{n,s})$形成一个稳定度$n$和权重$i$的有限生成FI-模，如Church-Ellenberg-Farb在[2]中所定义。因此我们重新得到对于所有$i$和$n$，序列$\{H^i(\Gamma_{n,s})\}_{s\geq0}$满足表示稳定性，但具有改进的稳定范围$s \geq i+n$，这与[5]中的低维计算一致。该FI-模结构的另一个重要结果是存在特征多项式，其决定了对于所有$s \geq i+n$的$\mathfrak{S}_s$-模$H^i(\Gamma_{n,s})$的特征。特别地，这意味着对于固定的$i$和$n$，$H^i(\Gamma_{n,s})$的维度对于所有$s\geq i+n$由$s$的多项式给出。我们计算了此类特征多项式的显式例子以展示该现象。