关于多边形链的 Fermat-Weber 点

本文研究了一组固定点的 Fermat-Weber 点的性质，这些点的排列与正多边形链的顶点重合。正 $n$ 边形的 $k$-链是由该正 $n$ 边形的 $k(\leq n)$ 个连续顶点形成的边界段。我们证明，对于每个奇正整数 $k$，存在一个整数 $N(k)$，使得每当 $n\geq N(k)$ 时，位于正 $n$ 边形 $k$-链顶点上的 $k$ 个固定点集合的 Fermat-Weber 点与该链的一个顶点重合。我们还证明 $\lceil\pi m(m+1)-\pi^2/4\rceil \leq N(k) \leq \lfloor\pi m(m+1)+1\rfloor$，其中 $k (=2m+1)$ 是任意奇正整数。然后我们将此结果推广到更一般的点集族，并给出一个 $O(hk\log k)$ 时间算法，用于确定给定的具有 $h$ 个凸包点的 $k$ 点集是否属于此类族。