置换图的支配数及其在强不动点上的应用

置换图 $G_\pi$ 是一种简单图，其顶点对应于 $\pi$ 的元素，当 $i$ 与 $j$ 在 $\pi$ 中逆序时，$i$ 与 $j$ 之间有一条边。若图 $G$ 的顶点集 $D$ 满足 $G$ 中每个顶点要么属于 $D$，要么与 $D$ 中某元素相邻，则称 $D$ 支配图 $G$。支配数 $\gamma(G)$ 定义为 $G$ 的最小支配集的基数。阶为 $n$ 的置换 $\pi$ 的强不动点是一个元素 $k$，使得对所有 $j<k$ 有 $\pi^{-1}(j)<\pi^{-1}(k)$，且对所有 $i>k$ 有 $\pi^{-1}(i)>\pi^{-1}(k)$。本文中，我们计数了具有支配数 $1$ 和支配数 $\frac{n}{2}$ 的 $n$ 顶点连通置换图的数目。我们进一步证明，对自然数 $k\leq \frac{n}{2}$，存在具有支配数 $k$ 的 $n$ 顶点连通置换图。我们给出了被含两个元素的集合支配的置换图数目的闭式表达式，以及被任意顶点集高效支配的置换图数目的闭式表达式。最后，我们将这些结果应用于强不动点，证明了 OEIS 上提出的一些猜想。