广义五边形几何——II

广义五边形几何 PENT($k$,$r$,$w$) 是一种部分线性空间，其中每条线关联 $k$ 个点，每个点关联 $r$ 条线，且对于每个点 $x$，与 $x$ 不共线的点集构成 Steiner 系统 $S(2,k,w)$ 的点集，其区组为该几何的线。若 $w = k$，该结构称为五边形几何，记作 PENT($k$,$r$)。PENT($k$,$r$,$w$) 的亏缺图以该几何的点为顶点，且当且仅当 $x$ 与 $y$ 不共线时，$x$ 与 $y$ 之间存在一条边。我们的主要目标是研究亏缺图围长为 4 的广义五边形几何 PENT($k$,$r$,$w$)。我们描述了一些构造方法，包括一个保持亏缺图连通性的过程，并证明了关于 $k = 3$ 及各种 $w$ 值的存在谱的若干定理。此外，我们给出了一些具有连通亏缺图的新 PENT(4,$r$)（包括 PENT(4,25)）和 PENT(5,$r$)。由此，我们证明了当 $k = 4$，$r \ge 13$ 且 $r$ 模 4 同余于 1 时，以及当 $k = 5$，$r \ge 200000$ 且 $r$ 模 5 同余于 0 或 1 时，存在亏缺图围长至少为 5 的五边形几何 PENT($k$,$r$)。最后，我们讨论了为五边形几何适当定义的识别码。