块大小为3、4和5的五边形几何

五边形几何 PENT($k$, $r$) 是一种部分线性空间，其中每条线（或块）关联 $k$ 个点，每个点关联 $r$ 条线，并且对每个点 $x$，存在一条线恰好关联那些不与 $x$ 共线的点。五边形几何中的反向线对由两条平行线组成，使得其中一条线上的每个点恰好不与另一条线上的那些点共线。我们给出了块大小为3且亏缺图连通的五边形几何的无限序列的直接构造。此外，我们给出了39个块大小为4和5个块大小为5的新五边形几何，均具有连通的亏缺图。由此我们确定了 PENT(4, $r$) 中不含反向线对以及 PENT(4, $r$) 中含一个反向线对的存在谱，仅余少数可能的例外。更一般地，给定 $j$，我们证明对所有足够大的可容 $r$，存在具有 $j$ 个反向线对的 PENT(4, $r$)。利用一些块大小为5的新可分组设计（包括类型 $2^{35}$、$2^{71}$ 和 $10^{23}$），我们显著扩展了已知的 PENT(5, $r$) 存在谱。