关于弱交换群 $\chi(G)$ 的指数

弱交换群 $\chi(G)$ 由两个同构群 $G$ 与 $G^{\varphi}$ 生成，并满足关系 $[g,g^{\varphi}]=1$（对所有 $g \in G$）。群 $\chi(G)$ 是 $D(G) = [G,G^{\varphi}]$ 对 $G \times G$ 的一个扩张。我们证明：若 $G$ 是导出长度为 $d$ 的有限可解群，则当 $|G|$ 为奇数时 $\exp(D(G))$ 整除 $\exp(G)^{d}$，当 $|G|$ 为偶数时 $\exp(D(G))$ 整除 $2^{d-1}\cdot \exp(G)^{d}$。进一步，若 $p$ 为素数且 $G$ 是类为 $p-1$ 的 $p$-群，则 $\exp(D(G))$ 整除 $\exp(G)$。此外，若 $G$ 是类 $c\geq 2$ 的有限 $p$-群，则 $\exp(D(G))$ 整除 $\exp(G)^{\lceil \log_{p-1}(c+1)\rceil}$（$p\geq 3$），且 $\exp(D(G))$ 整除 $2^{\lfloor \log_2(c)\rfloor} \cdot \exp(G)^{\lfloor \log_2(c)\rfloor+1}$（$p=2$）。