弱交换构造的有限性条件

同构群 $G$ 和 $G^{\varphi }$ 之间的弱交换算子 $\chi$ 由 Sidki 引入，定义为 \begin{equation*} \chi (G)=\left\langle G \cup G^{\varphi }\mid \lbrack g,g^{\varphi }]=1\,\forall \,g\in G\right\rangle \text{.} \end{equation*} 已知算子 $\chi$ 保持群的有限性、可解性以及有限生成群的幂零性等群性质。我们证明，如果 $G$ 是一个局部有限群且 $exp(G)=n$，则 $\chi(G)$ 也是局部有限的且具有有限的 $n$-有界指数。此外，我们根据集合 $\{[g_1,g_2^{\varphi}] \mid g_i \in G\}$ 检验了子群 $D(G) = \langle [g_1,g_2^{\varphi}] \mid g_i \in G\rangle \leqslant \chi(G)$ 的一些有限性判据。