关于球均值Radon变换的通用反投影公式的精确性

球均值Radon变换 $\mathcal{M}f(x,r)$ 定义为 $\mathbb{R}^{n}$ 中函数 $f$ 在以 $x$ 为中心、半径为 $r$ 的球面 $S(x,r)$ 上的积分，并按球面面积进行归一化。从数据 $\mathcal{M}f(x,r)$（其中 $x$ 属于超曲面 $\Gamma\subset\mathbb{R}^{n}$ 且 $r \in(0,\infty)$）重建 $f$ 的问题在现代成像模态中有重要应用，例如光声和 thermo- 声层析成像。当 $\Gamma$ 与有界（凸）域 $\Omega\subset\mathbb{R}^{n}$ 的边界 $\partial\Omega$ 重合时，支撑在 $\Omega$ 内的函数可由其在 $\Gamma$ 上已知的球均值唯一恢复。我们关注此类重建的显式反演公式。若 $\Gamma=\partial\Omega$，此类公式仅已知于 $\Gamma$ 为椭球面（或其部分特例）的情形。这引出了一个自然问题：能否为其他闭超曲面 $\Gamma$ 找到显式反演公式？本文中，我们针对所谓的“通用反投影反演公式”证明，将其推广到非椭球域 $\Omega$ 是不可能的，因此椭球面构成了此类公式成立的最大闭凸超曲面类。