具有非零挠率的规则 $M$-多边形在涡丝方程下的演化
数值分析
2019-09-04 v1 数值分析
摘要
在本文中，我们考虑涡丝方程（VFE）的演化：\begin{equation*} \mathbf X_t = \mathbf Xs \wedge \mathbf Xss, \end{equation*} 取具有非零挠率的 边规则多边形作为初始数据。利用代数技巧并结合数值模拟，我们表明解在有理时刻为多边形，这与零挠率情形相同。然而，与那种情形不同，该演化在时间上不是周期的；此外，点 的多重分形轨迹不是平面的，并且在较大时刻似乎是一条螺旋线。这些 VFE 的新解可用于数值说明：由螺旋线和直线给出的 VFE 光滑解具有与已对圆所建立的相同的失稳性。这是通过证明存在所谓的黎曼不可微函数的变体来实现的，当以恰当的拓扑度量时，这些变体可任意接近光滑曲线。该拓扑受近期关于 VFE 适定性的某些结果启发，这些结果证明了 VFE 的自相似解具有有限重整化能量。
引用
@article{arxiv.1909.01029,
title = {On the Evolution of the Vortex Filament Equation for regular $M$-polygons with nonzero torsion},
author = {Francisco de la Hoz and Sandeep Kumar and Luis Vega},
journal= {arXiv preprint arXiv:1909.01029},
year = {2019}
}
备注
23 pages, 14 figures