交叉家族第 $\ell$ 大度的数论

设 $\mathcal{F}\subset\binom{[n]}{k}$ 为交叉家族。对于元素 $i\in[n]$，其度为 $\mathcal{F}$ 中包含 $i$ 的集合数目。假设度按大小排序为 $d_{1}\ge d_{2}\ge\cdots\ge d_{n}$。Huang 与 Zhao 证明若 $n>2k$，则最小度满足 $d_{n}\le\binom{n-2}{k-2}$，且由 1-星结构取得最大值。我们强化了该结果，证明当 $n\ge 2k+1$ 时，第 $(2k+1)$ 大度满足 $d_{2k+1}\le\binom{n-2}{k-2}$，从而确认了 Frankl 与 Wang 的猜想。进一步地，我们证明当 $k$ 较大且 $n>12k$ 时，第 $(k+2)$ 大度 $d_{k+2}$ 已经不超过 $\binom{n-2}{k-2}$。我们发展的技术还给出第 $(\ell+1)$ 大度 $d_{\ell+1}$ 的紧上界，满足 $\varepsilon k \le \ell \le k$ 且 $n$ 足够大（$n>C_{\varepsilon} k$）。