一阶与二阶 GeCo 及 gBBKS 格式的动力学性质

本文研究了所谓 gBBKS 和 GeCo 方法的稳定性性质，它们属于非标准格式类，并对任意步长保持底层常微分方程组的正性以及所有线性不变量。这些格式处于一般线性方法类之外，其稳定性研究具有挑战性，因为即使对线性问题，迭代也总是由非线性映射生成。近来，一个稳定性定理被推导出来，给出了理解此类格式的标准。在分析中，这些格式被应用于一般线性方程，并被证明由具有局部 Lipschitz 连续一阶导数的 $\mathcal C^1$ 映射生成。因此，上述稳定性定理可用于通过分析生成映射相应雅可比矩阵的特征谱来研究数值方法非双曲不动点的李雅普诺夫稳定性。此外，若证明某不动点稳定，该定理保证迭代局部收敛于它。对于一阶和二阶 gBBKS 格式，稳定性域与底层 Runge–Kutta 方法的稳定性域一致。进而，虽然一阶 GeCo 格式将所有稳态转化为对所有步长和所有有限规模线性测试问题的稳定不动点，但二阶 GeCo 格式对所考虑测试问题具有有界稳定区域。最后，稳定性分析的所有理论预测均通过数值验证。