Lattice Boltzmann 方法的稳定性与稳定化：魔法步骤与救赎操作

我们重新审视了经典的 Lattice Boltzmann 方法 (LBM) 在稳定性与精度之间的矛盾。我们的目标是构建一个具有第二阶精度的稳定流体动力学方法，基于 Lattice Bhatnager--Gross--Krook 方法 (LBGK)。LBGK 方案可被识别为由自由飞行和 entropic involution 生成的离散动力系统。在此框架下，稳定性和精度分析更为自然。我们发现确保第二阶精度的必要且充分条件。特别地，证明要保证第二阶精度，分布函数必须属于一个特殊曲面——不变薄膜 (相对于时间步长的二阶项)。该曲面是 (准)平衡分布曲面在自由飞行下的轨迹。我们识别出主要的不稳定机制。最简单的稳定化配方在不加入人工耗散的情况下（至二阶）即可实现方法的第二阶精度。还有两种其他方案在局部加入适当的耗散，以防止系统失去正性和局部爆炸。通过对 1 维冲击管和 Reynolds 数达到 $\mathcal{O}(10000)$ 的二维不可稳定流动绕圆柱的仿真，演示了所提出的稳定 LBGK 方法。