关于退化黎曼曲面的 Dirac 谱

我们研究了在退化的紧致黎曼曲面族上的 Dirac 算子谱的行为，当其中一根简单闭合测地线的长度 $t$ 缩小至零时，且沿该测地线的自旋结构为非平凡。问题的难点在于极限曲面的非紧致性，其拥有有限面积和两个 cusp。本次调查的主要思想是构建一种适应的伪微分算子计算体系，致敬 Melrose 的著名 b 代数，它既包括紧致曲面族上 Dirac 算子族，也包括极限非紧致曲面上的 Dirac 算子及其本征值。我们获得了谱投影的光滑性，并在退化过程中得到 $t^2 \log t$ 的 cusp-手术迹相对于相对本征值的光滑性。