关于具有有界 Schmidt 秩的子空间的维数

我们考虑如下问题:在给定的双部分量子系统中,当子空间仅包含高度纠缠态时,该子空间能够有多大。这一问题的部分动机来自 Hayden 等人的结果,他们表明在大的 $d\times d$ 维系统中,存在维数几乎为 $d^2$ 的随机子空间,其中所有态的纠缠熵至少为 $\log d - O(1)$。该问题还与 Parthasarathy 关于完全纠缠子空间维数的结果相关,后者与不可延展乘积基的构造有联系。本文以 Schmidt 秩作为纠缠度量,对每一对局部维数 $d_A$ 和 $d_B$ 以及每个 $r$,确定了仅由 Schmidt 秩不小于 $r$ 的纠缠态构成的子空间的最大维数。这一精确结果是对利用随机子空间技术所能得到的最佳估计的显著改进。我们还确定了其逆问题:对 Schmidt 秩具有上界的子空间的最大维数。最后,我们讨论了仅包含 Schmidt 秩恰好等于 $r$ 的态的子空间问题。