关于变换与划分半群的直径

对于一个泛右同余有限生成（等价地，满足右-$FP_1$ 同调有限性性质的）半群 $S$，其右直径是一个表达 $S$ 中元素在某种意义下彼此“相距多远”的参数。更精确地说，对于 $S$ 上泛右同余的每个有限生成集 $U$，我们有一个度量空间 $(S,d_U)$，其中 $d_U(a,b)$ 是 $(a,b)$ 作为 $U$ 中对的推论的最小推导长度；$S$ 相对于 $U$ 的右直径是该度量空间的直径。$S$ 的右直径则是所有相对于有限生成集的右直径集合的最小值。我们研究各种自然的无限变换与划分半群是否具有有限生成的泛右/左同余，并对那些具有的半群确定其右/左直径。在其他结果中，对任意无限集 $X$ 我们证明如下：所有 $X$ 上二元关系、部分变换和全变换的幺半群，以及 $X$ 上的划分和部分 Brauer 幺半群，均有右直径 1 和左直径 1。$X$ 上的对称逆幺半群有右直径 2 和左直径 2。$X$ 上所有单射映射的幺半群有右直径 4，其极小理想（称为 $X$ 上的 Baer-Levi 半群）有右直径 3，但这两个半群均不具有有限生成的泛左同余。另一方面，$X$ 上所有满射映射的半群有左直径 4，其极小理想有左直径 2，但这两个半群均不具有有限生成的泛右同余。