无限对称群与变换幺半群的交换分解

群 $G$ 的交换子群宽度是指最小的 $k$，使得存在阿贝尔子群 $A_0,A_1,\ldots,A_{k-1}\leq G$ 满足 $G=A_0A_1\cdots A_{k-1}$。交换（逆）子幺半群宽度的定义类似。2002 年，Ab\'ert 令人惊讶地证明了无限集合上的对称群的交换子群宽度始终是有限的。随后 Seress 证明了它始终以 $14$ 为上界。我们回答了 Seress 的一个问题，并证明 $\operatorname{Sym}(\mathbb{N})$ 的交换子群宽度至多为 $9$。我们将已知的最佳下界改进至 $4$。我们还研究了对称群的标准幺半群类似物；证明了全变换幺半群 $\mathbb{N}^\mathbb{N}$、部分变换幺半群 $P_\mathbb{N}$ 和对称逆幺半群 $I_\mathbb{N}$ 的交换子幺半群宽度恰好为 $3$。最后，我们证明了任何无限对称逆幺半群的交换逆子幺半群宽度始终是无限的。