双曲平面的等距半群

受关于平面双曲等距复合动力学问题的启发，我们证明了关于等距半群（视为实 Möbius 变换）的几个基本结果。如果恒等变换不是半群 $S$ 的聚点，我们定义该 Möbius 变换半群 $S$ 为\emph{半离散的}。如果 $S$ 不包含恒等元，我们称 $S$ 是\emph{无逆元的}。我们的主要结果之一指出，若 $S$ 是由某有限集合 $\mathcal{F}$ 的 Möbius 变换生成的半群，则 $S$ 是半离散且无逆元的，当且仅当每个形如 $F_n=f_1\dotsb f_n$（其中 $f_n\in\mathcal{F}$）的序列在上半平面逐点收敛于理想边界上的某点，此处收敛是关于扩充复平面上的弦距离而言的。我们对所有双生成元半离散半群进行了完整分类，并给出了适用于半群的 Jørgensen 不等式版本。我们还证明了一些在 Fuchsian 群理论中有熟知对应结果的定理。例如，我们证明了每个半群属于四种标准类型之一：初等的、半离散的、在 Möbius 群中稠密的，或由固定扩充实直线上某非平凡子区间的变换构成的。作为该定理的推论，我们证明了除某些次要例外，有限生成半群 $S$ 是半离散的，当且仅当包含于 $S$ 中的每个双生成元半群都是半离散的。随后我们研究了半群的“群部分”大小与其前向和后向极限集交集之间的关系。特别地，我们证明了若 $S$ 是有限生成非初等半群，则 $S$ 是群当且仅当其两个极限集相等。最后，我们应用部分方法解决了 Yoccoz 的一个开放问题。