关于退化的 Arnold-Givental 猜想

我们提出另一种视角来处理实辛流形 $(M, \omega, \tau)$ 上的 Arnold-Givental 猜想，其中实部 $L={\rm Fix}(\tau)$ 非空且紧致。对于给定的 $\Lambda\in (0, +\infty]$ 和 $m\in\N\cup\{0\}$，我们证明了以下两个断言的等价性：(i) 对于任何满足 Hofer 范数 $\|H\|<\Lambda$ 的哈密顿函数 $H\in C_0^\infty([0, 1]\times M)$，有 $\sharp(L\cap\phi^H_1(L))\ge m$；(ii) 对于每个满足 $H(t,x)=H(-t,\tau(x))\;\forall (t,x)\in\mathbb{R}\times M$ 且 Hofer 范数 $\|H\|<2\Lambda$ 的 $H\in C^\infty_0(\R/\Z\times M)$，有 $\sharp {\cal P}(H,\tau)\ge m$，其中 ${\cal P}(H, \tau)$ 是满足 $x(-t)=\tau(x(t))\;\forall t\in\R$ 的 $\dot{x}(t)=X_{H}(t,x(t))$ 的所有 1-周期解的集合（这些解有时也称为制动轨道）。假设 $(M, \omega)$ 对于某个满足 $\tau^\ast J=-J$ 的 $J\in{\cal J}(M,\omega)$ 是几何有界的，并且具有有理指数 $r_\omega>0$ 或 $r_\omega=+\infty$。利用 Hofer 的方法，我们证明了如果上述 (ii) 中的哈密顿量 $H$ 的 Hofer 范数 $\|H\|<r_\omega$，则对于 $\F=\Z_2$，有 $\sharp(L\cap\phi^H_1(L))\ge\sharp {\cal P}_0(H,\tau)\ge {\rm Cuplength}_{\F}(L)$；若 $L$ 可定向，则对于 $\F=\Z$ 也成立，其中 ${\cal P}_0(H,\tau)$ 由 ${\cal P}(H,\tau)$ 中所有可缩解组成。