一类简单贝叶斯随机效应模型 Gibbs 采样器的收敛复杂性

大数据的出现催生了所谓的收敛复杂性分析，即研究马尔可夫链蒙特卡罗（MCMC）算法在底层数据集的样本量 $n$ 和/或参数个数 $p$ 增长时的表现。这类分析通常颇具挑战，部分原因在于针对固定 $n$ 和 $p$ 的现有结果尚不够精细，无法给出良好的渐近结果。针对连续状态空间上 MCMC 算法的首批收敛复杂性结果之一来自 Yang 和 Rosenthal（2019），他们为 Rosenthal（1996）提出并研究的一个简单贝叶斯随机效应模型的 Gibbs 采样器建立了混合时间结果。然而，该 Gibbs 采样器谱间隙的渐近行为仍属未知。我们利用近期发展的模拟技术（Qin 等，2019）提供了实质性数值证据，表明当 $n \rightarrow \infty$ 时该间隙远离 0。我们还针对与 Rosenthal（1996）所考虑随机效应模型的一个推广相关联的两种不同 Gibbs 采样器建立了一对严格的收敛复杂性结果。我们的结果表明，在强正则条件下，这些 Gibbs 采样器的谱间隙随样本量增大而收敛于 1。