关于连续 Zauner 猜想

在 S. Pandey、V. Paulsen、J. Prakash 和 M. Rahaman 最近的一篇论文中，作者研究了纠缠破缺量子信道 $\Phi_t:\mathbb{C}^{d\times d} \to \mathbb{C}^{d \times d}$（$t \in [-\frac{1}{d^2-1}, \frac{1}{d+1}]$），定义为 $\Phi_t(X) = tX+ (1-t)\text{Tr}(X) \frac{1}{d}I$。他们证明了 Zauner 猜想等价于 $\Phi_{\frac{1}{d+1}}$ 的纠缠破缺秩为 $d^2$ 这一陈述。作者提出扩展猜想：对任意 $t \in [0, \frac{1}{d+1}]$，$\text{ebr}(\Phi_t)=d^2$，并在维数 2 和 3 中予以证明。本文我们证明，对任意 $t \in [-\frac{1}{d^2-1}, \frac{1}{d+1}] \setminus\{0\}$，等式 $\text{ebr}(\Phi_t)=d^2$ 等价于存在一对在某种意义下互无偏的信息完备单位范数紧框架 $\{|x_i\rangle\}_{i=1}^{d^2}, \{|y_i\rangle\}_{i=1}^{d^2}$（位于 $\mathbb{C}^d$ 中）。即对任意 $i\neq j$ 有 $|\langle x_i|y_j\rangle|^2 = \frac{1-t}{d}$ 且 $|\langle x_i|y_i\rangle|^2 = \frac{t(d^2-1)+1}{d}$（同时可得 $|\langle x_i|x_j\rangle\langle y_i|y_j\rangle|=|t|$）。尽管我们在维数 4 和 5 中对 $t$ 取 0 或 $\frac{1}{d+1}$ 以外值的数值搜索未获成功。