大型局部弧的构造

为了构建最优局部可修复编码，我们引入了新的有限几何概念，即局部弧，其定义为集合 $\mathcal{S}$ 中互不相交的点集合 $S_{i}$，使得对于任意 $S_{i}, S_{j} \in \mathcal{S}$，$S_{i} \cup S_{j}$ 均为弧。我们关注最大 $k$ 均匀局部弧的大小上界与下界。对于 $q=p^m$ 且 $p$ 为素数的情形，我们在 $\mathrm{PG}(2,q)$ 中构造大小为 $\Omega(q^{d})$ 的 $k$ 均匀局部弧，其中 $d$ 仅取决于 $m$，在区间 $[1.1167, 1.25]$ 之间。对于 $k=4$，这意味着存在尺度为 $O(q)$ 的最优局部可修复编码（LRC），具有最小距离 6、局部性 3 且具有互不相交的修复组——这是对已知 $O(q)$ 构造的显著改进。