关于协边连通性与半投影拓扑量子场论

我们考虑拓扑量子场论（TQFT）公理的一种推广，即所谓的半投影 TQFT，其在合成律中带有反常 $x^{\mu}$。$\mu$ 是协边范畴上的非负整数值上闭链。TQFT 所定义于其上的环的元素 $x$ 不必是可逆的。特别地，它可以是 0。这一修改使得在 $S^1\times S^2$ 上消失的量子不变量有可能被扩展为非凡的 TQFT。（具有此性质的 Atiyah 意义上的 TQFT 必须整体上是平凡的。）在几个自然假设下，半投影 TQFT 的概念被证明是唯一可能的推广。基于与 Lyubashenko 关于连通 TQFT 的单独工作，我们构造了一大类具有 $x=0$ 的半投影 TQFT。它们的不变量在 $S^1\times S^2$ 上消失，并且与非半单 Hopf 代数的 Hennings 不变量一致。我们发展了与此类 TQFT 消失性质相关的若干拓扑工具。这些工具涉及协边的连通性性质，例如极大非分离曲面。我们特别引入了“内部”同伦群和同调群，以及坐标图的概念，坐标图是协边上的函数，取值于图范畴的态射。作为应用，我们将证明具有 $x=0$ 的半投影 TQFT 在具有无限内部同调的协边上消失，并且我们论证了在“经典极限”下 TQFT 在协边上的发散阶数可以通过其极大自由内部群的秩来估计。