关于布尔n-立方体的相关免疫函数与完美2-着色之间的联系

如果对于每个顶点$x$，$x$的邻居的颜色集合仅依赖于$x$的颜色，则布尔$n$-立方体的着色称为完美着色。如果布尔函数在布尔$n$-立方体的每个$m$-面上取值为1的次数相同，则称其为$n-m$次相关免疫函数。本文证明了每个布尔函数$\chi^S$（$S\subset E^n$）满足不等式$${\rm nei}(S)+ 2({\rm cor}(S)+1)(1-\rho(S))\leq n,$$其中${\rm cor}(S)$是$\chi^S$的相关免疫最大次数，${\rm nei} (S)= \frac{1}{|S|}\sum\limits_{x\in S}|B(x)\cap S|-1$是$S$中顶点在集合$S$中邻居的平均数，$\rho(S)=|S|/2^n$是集合$S$的密度。此外，函数$\chi^S$是完美着色当且仅当上述公式取等号。