关于 q 元 n 维立方体的完美 2-染色

如果对于每一个 $n$-元组 $x$，$x$ 的邻居的颜色集合仅依赖于 $x$ 的颜色，则称 $q$ 元 $n$ 维立方体（超立方体）的一个染色是完美的。如果一个布尔值函数在超立方体的每个 $m$ 维面上取值为 1 的次数相同，则称其为 $n-m$ 度相关免疫的。设 $f=\chi^S$ 是超立方体某个子集 $S$ 的特征函数。本文证明了不等式 $\rho(S)q({\rm cor}(f)+1)\leq \alpha(S)$，其中 ${\rm cor}(f)$ 是 $f$ 的相关免疫的最大度，$\alpha(S)$ 是补集 $S$ 中的 $n$-元组在集合 $S$ 中的邻居的平均数，而 $\rho(S)=|S|/q^n$ 是集合 $S$ 的密度。此外，函数 $f$ 是完美染色当且仅当我们在上述公式中得到等式。同时，对于 $q>2$ 的情形，我们找到了完美染色和 1-完美码的分量的基数的新的下界。