关于锥形 Novikov 同调

设 $\omega$ 为流形 $M$ 上的一个 Morse 形式。设 $p:\hat M\to M$ 是一个结构群为 $G$ 的正则覆盖，使得 $p^*([\omega])=0$。设 $\xi:G\to\mathbf{R}$ 为相应的周期同态。记 ${\hat \Lambda}_\xi$ 为群环 $\mathbf{Z} G$ 的 Novikov 完备化。选取一个横截的 $\omega$-梯度 $v$。通过对 $v$ 的流线计数，可定义自由生成于 ${\hat \Lambda}_\xi$ 上、以 $\omega$ 的零点集为基的 Novikov 复形 $\mathcal{N}_*$。本文引入这一构造的一种精细化。我们定义 ${\hat \Lambda}_\xi$ 的一个子环 $\hat\Lambda_\Gamma$，并证明 Novikov 复形 $\mathcal{N}_*$ 实际上定义于 $\hat\Lambda_\Gamma$ 上，且计算链复形 $C_*(\hat M)\underset{\Lambda}{\otimes}\hat\Lambda_\Gamma$ 的同调。当 $G\approx\mathbf{Z}^2$ 且 $\xi$ 的无理度等于 2 时，环 $\hat\Lambda_\Gamma$ 同构于形如 $\sum_{r\in\mathbf{N}} a_r x^{n_r}y^{m_r}$ 的二元幂级数环，其中 $a_r, n_r, m_r\in\mathbf{Z}$，且当 $r\to \infty$ 时 $n_r, \ m_r$ 均趋于 $\infty$。证明的代数部分基于用有理数逼近无理数的经典算法的一个适当推广。几何部分是作者关于圆值 Morse 映射此定理特例证明的直接推广。在附录 1 中，我们概述 E. Pitcher 关于圆值 Morse 理论（1939）的工作。我们证明 Pitcher 对圆值 Morse 映射临界点数的下界估计与 Novikov 不等式的无挠部分一致。在附录 2 中，我们构造了一个圆值 Morse 映射及其梯度，使得其唯一的 Novikov 关联系数是一个单变量幂级数，其收敛半径可任意小。