定义集的计算复杂度

假设我们有一个集合族 ${\cal F}$。对于每个 $S \in {\cal F}$，若集合 $D \subseteq S$ 是 $({\cal F},S)$ 的定义集，则 $S$ 是唯一包含 $D$ 作为子集的 ${\cal F}$ 中的元素。此概念已在诸多情况下进行研究，例如顶点着色、完美匹配、支配集、块设计、测地集、定向和拉丁方。本文中，我们首先提出逻辑公式定义集的概念，并证明其计算复杂度为 $\Sigma_2$-complete。我们还显示了关于图顶点着色定义集的计算复杂度为 $\Sigma_2$-complete：{\sc Instance:} 一个带有顶点着色 $c$ 和整数 $k$ 的图 $G$。{\sc Question:} 若 ${\cal C}(G)$ 为 $G$ 的所有 $\chi(G)$-着色的集合，则 $({\cal C}(G),c)$ 是否存在大小至多为 $k$ 的定义集？此外，我们研究了此问题的其他变体的计算复杂度。