关于带热传导的标准线性固体模型的柯西问题:傅里叶与卡塔内奥之比较

在本文中,我们考虑 $\mathbb{R}^N$ 中的标准线性固体模型,首先与傅里叶热传导定律耦合,其次与卡塔内奥定律耦合。首先,我们给出适当的功能框架,以证明在参数满足某些假设(即 $0<\tau\leq \beta$)时两个模型的适定性。其次,利用傅里叶空间中的能量方法,我们在相同的参数假设下获得了与傅里叶和卡塔内奥热传导模型中解相关的范数的最优衰减率。更具体地,我们证明当 $0<\tau<\beta$ 时,带热传导的模型与不带热传导的柯西问题(见 [Pellicer_Said-Houari_AMO_2017])具有相同的衰减率,无论是在傅里叶还是卡塔内奥热传导定律下。此外,我们能够看到在热传导中使用傅里叶或卡塔内奥定律的区别不在于衰减率,而在于卡塔内奥耦合表现出众所周知的规律性损失现象,即卡塔内奥模型要求初值具有更高的正则性才能使解衰减。当 $0<\tau=\beta$ 时(即耗散通过热传导产生),我们在两种热耦合模型中仍然具有渐近稳定性,但衰减率更慢。正如我们随后证明的,在缺少热传导时这种稳定性是不可能的。我们还通过使用特征值展开方法证明了前述两种模型衰减率的最优性。最后,我们通过说明条件 $0<\tau< \beta$ 不仅是无热传导问题渐近稳定性的充分条件也是必要条件,补全了 [Pellicer_Said-Houari_AMO_2017] 中的结果。