Boltzmann 理论中的 Fourier 定律与非等温边界

在 Boltzmann 理论的热传导研究中，基本问题是在一般有界区域内，针对对应于壁面非等温温度的漫反射边界条件，构造 Boltzmann 方程稳态问题的解。记边界上温度振荡的幅度为 δ，我们发展了一套理论来数学上刻画这样的解。我们构造了 Boltzmann 方程的一个唯一解 F_s，该解具有指数衰减率的动力学渐近稳定性。此外，若区域是凸的且壁面温度连续，我们证明 F_s 在掠射集之外是连续的。若区域非凸，间断可能形成并沿前向特征线传播。我们证明，对于适当光滑的温度分布，间断确实会形成。我们指出，该解不同于局部平衡 Maxwell 分布，因此是一个真正的非平衡稳态解。我们的分析基于近期对 Boltzmann 方程边值问题的研究，但采用了新的构造性强制性估计，适用于稳态和动态情形。在此框架下的一个自然问题是确定一般的 Fourier 定律——即热传导矢量 q 正比于温度梯度——是否成立。作为我们结果的一个应用，我们建立了 F_s 关于 δ 的展开，其一阶项 F_1 满足一个线性的、无参数方程。由此我们发现，若 Fourier 定律对 F_s 成立，则 F_1 的温度在平板内必须是线性的。这一必要条件与现有的数值模拟相矛盾，从而预示了在动理学区域中 Fourier 定律的失效。