关于闪电加多项式逼近的最佳收敛速率

在引入指数聚集极点的基础上，Trefethen及其合作者引入了用于逼近具有奇异性函数的闪电算法。这些方案可以实现根指数收敛速率。特别是，基于锥形指数聚集极点参数的特定选择，使用低次多项式基的闪电逼近可能达到最佳收敛速率，即原型函数$x^\alpha$在$[0,1]$上的最佳有理逼近，这通过精细的数值实验进行了说明，并在[SIAM J. Numer. Anal., 61:2580-2600, 2023]中作为猜想提出。通过利用泊松求和公式和类似于Paley-Wiener定理的结果，我们从理论上严格证明了所有使用低次多项式基的这些方案在逼近$x^\alpha$时，对于任意聚集参数都能达到具有精确阶数的根指数收敛速率，并给出了每种类型聚集极点实现最快收敛速率的最佳参数选择，从而证实了该猜想作为一个特例。大量的数值实验证明了估计的最优性和尖锐性。