关于 Behrend 函数与某些胖点的爆破

$\mathbb C$-概形 $X$ 的 Behrend 函数是由 Behrend 引入的、内蕴于 $X$ 的概形结构的构造性函数 $\nu_X\colon X(\mathbb C) \to \mathbb Z$。它是 $X$ 奇点的（精细）不变量，在计数几何中起着突出作用。迄今为止，关于 Behrend 函数仅已知少数一般性质。在本文中，我们对一大类胖点（支撑于单点的概形）计算该函数。我们首先观察到，若 $X \hookrightarrow \mathbb A^N$ 是一个胖点，则 $\nu_X$ 是爆破 $\textrm{Bl}_{X}\mathbb A^N$ 中例外除子 $E_{X}\mathbb A^N$ 的不可约分支的重数之和。此外，我们证明 $\nu_X$ 可通过 $\textrm{Bl}_{X}\mathbb A^N$ 的规范化显式计算。我们关于 $\mathbb A^2$ 中胖点的 Behrend 函数显式公式的证明严重依赖于环面几何技术。在此过程中，我们对 $E_{X}\mathbb A^2$ 的不可约分支数找到了一个公式，其中 $X \hookrightarrow \mathbb A^2$ 是使得 $\textrm{Bl}_{X}\mathbb A^2$ 为正规化的胖点。