关于代数曲线的自 Igusa-zeta 函数

我们在动机积分的背景下研究完备诺特局部环的自同态。利用自弧空间的概念，我们引入了点处的（约化）自 Igusa-zeta 级数，该级数似乎衡量了簇在该点的不光滑程度。我们猜想了一个针对具有一个奇点的曲线的闭式公式，并为尖点和结点情形提供了该级数的显式公式。利用 Denef 和 Loeser 的工作，可以证明该级数通常是有理的。这些想法是通过在 Sage 中进行大量计算获得的。因此，我们包含了用于这些计算的 Sage 脚本。该脚本在 $X$ 为仿射、$\mathfrak{n}$ 为肥点且基域特征为零时，计算仿射弧空间 $\nabla_{\mathfrak{n}}X$。最后，我们证明了自 Poincaré 级数通常也是有理的，并将其与关于新型动机积分的问题联系起来。