代数数域上的 $abc$ 猜想

尽管目前 $abc$ 猜想及其相关研究仍悬而未决或存在争议，同时已有大量工作致力于其较弱版本以及向数域的推广。给定满足 $a+b=c$ 的整数，Stewart 与 Yu 能够针对整数给出 $\max(a,\,b,\,c)$ 关于根式的指数界，而 Gy"{o}ry 能够在代数数域情形下针对代数数给出射影高度 $H_{K}(a,\,b,\,c)$ 关于根式的指数界。我们将 Stewart 与 Yu 的方法推广，以改进 Gy"{o}ry 关于代数整数的界。最后，我们给出对有效的 Skolem-Mahler-Lech 问题的一个应用。需注意，在给定某些条件时，我们得到 $\log H_{L}(a,\,b,\,c)$ 的次指数界。我们利用这些结果改进了 Lagarias 与 Soundararajan 的一个结果。在准备的最终阶段，我们获悉 Gy"{o}ry 已使用不同方法独立得到了与我们主定理类似的结果。