abc 猜想意义下固定基数域中的无 Wieferich 素数的无限性

Silverman 证明，在 abc 猜想假设下，存在众多小于 x 且以 a 为基数的非 Wieferich 素数，其中数量与 log x 成正比\cite{silverman}，适用于所有非零 a。此结果激发了 Graves 与 Murty \cite{Graves}、Chen 与 Ding \cite{Chen1} \cite{Chen2} 以及随后 Ding \cite{Ding} 在 abc 猜想下，研究以 a 为基数的非 Wieferich 素数 p，其中 p 满足 p ≡ 1 (mod k)，k ≥ 2。鉴于 Murty、Srinivas 与 Subramani 最近在“Wieferich 素数猜想”以及数域中的欧几里得算法方面的工作\cite{murty}，数论学家亟需关于数域中非 Wieferich 素数的结果。我们证明了 Graves & Murty 以及 Ding 的结果的类比形式，证明 Ding 的结果对所有虚二次域中整数环中的所有基数 a 都成立，仅有 31 个明确列出的例外。沿途，我们将有用的结果从有理整数推广至代数整数。