关于单位球覆盖的 1-密度

受图像处理和无线传感器网络等现代应用的启发，我们考虑了著名的开普勒猜想的一个变体。给定任意覆盖整个空间的无限单位球集合，我们想知道恰好被一个球覆盖的体积的最优（上极限）密度（即所有单位球覆盖中的最大此类密度，称为\emph{最优 1-密度}，记为$\delta_d$，其中$d$是欧几里得空间的维数）。我们证明了在 2D 中，最优 1-密度$\delta_2=(3\sqrt{3}-\pi)/\pi \approx 0.6539$，这是通过正六边形覆盖实现的。在 3D 中，该问题尚广泛未决，我们提出了一个十二面体覆盖猜想，该猜想指出 3D 中的最优 1-密度$\delta_3$的上界由 Voronoi 多面体为外接半径为 1 的正十二面体（由 12 个额外单位球确定）的单位球的 1-密度给出。我们通过数值计算表明，该 1-密度$\delta_3(dc)\approx 0.315$。