关于链环上的若干变换与 Hopf 交叉数

我们考虑 $S^3$ 中链环的箭头图，并对此类图定义 $k$-变换，其中任意 $k\in\mathbb N$。我们研究 $S^3$ 中链环模 $k$-变换的等价类。对于 $k=2$，我们证明任意两个纽结等价，但对链环则不成立。我们证明当 $k$ 为奇数时，Jones 多项式在 $k$ 次单位根处的值经 $k$-变换不变；当 $k$ 为偶数时则乘以 $-1$。由此可知，对任意 $k\ge 5$，模 $k$-变换的纽结类有无穷多。我们利用这些结果研究 Hopf 交叉数。特别地，我们证明对某些纽结族它无界。我们还将 $k$-变换解释为不同透镜空间 $L_{p,1}$ 中链环之间的某种等同。