关于半线性集的一些计数问题

设 $X$ 是 $\N^t$ 或 $\Z^t$ 的子集。我们可以将函数 ${\cal G}_X:\N^t\longrightarrow\N$ 与 $X$ 关联起来，该函数对每个 $(n_1, ..., n_t)\in \N^t$ 返回所有满足如下条件的向量 $x\in X$ 的个数 ${\cal G}_X(n_1, ..., n_t)$：对于每个 $i=1,..., t$，有 $|x_{i}| \leq n_{i}$。这个函数被称为 $X$ 的{\em 增长函数}。本文的主要结果是：$\N^t$ 或 $\Z^t$ 中半线性集的增长函数是一个 box 样条。利用这一结果以及关于半线性集的一些定理，我们给出了 Dahmen 和 Micchelli 关于丢番图线性方程组计数函数的一个著名定理的、具有组合学特色的新证明。