关于 G-空间和 G-格的划分

给定一个 $G$-空间 $X$ 和 $X$ 的子集的一个非平凡 $G$-不变理想 $I$，我们证明对于将 $X$ 划分为 $n\ge 2$ 个部分的任意划分 $X=A_1\cup\dots\cup A_n$，存在该划分的一个部分 $A_i$ 和一个基数为 $|F|\le \phi(n+1):=\max_{1<x<n+1}\frac{x^{n+1-x}-1}{x-1}$ 的有限集 $F\subset G$，使得 $G=F\cdot \Delta(A_i)$，其中 $\Delta(A_i)=\{g\in G:gA_i\cap A_i\notin I\}$ 是集合 $A_i$ 的差集。此外，我们研究了序列 $\phi(n)=\max_{1<x<n}\frac{x^{n-x}-1}{x-1}$ 的增长，并表明 $\ln \phi(n)=nW(ne)-2n+\frac{n}{W(ne)}+\frac{W(ne)}{n}+O\big(\frac{\ln n}n\big)$，其中 $W(x)$ 是 Lambert W 函数，由隐式方程 $W(x)e^{W(x)}=x$ 定义。这表明 $\phi(n)$ 的增长速度快于任何指数 $a^n$，但慢于阶乘序列 $n!$。