线性无关解析函数图像中的加法增长

设 $\mathcal{F}$ 为一组在紧缩区间 $I$ 上的 $n$ 个实解析函数，其导数在 $I$ 上的线性无关。我们证明，对任意有限集合 $A \subset I$，都存在函数 $f \in \mathcal{F}$ 满足 $$|2^{n-1}f(A)-(2^{n-1}-1)f(A)|\gg_{\mathcal{F},I} |A|^{\phi(n)},$$ 其中 $\phi:\mathbb{N} \to \mathbb{R}$ 满足递归公式 $$\phi(1)=1, \quad \phi(n)=1+\frac{1}{1+\frac{1}{\phi(n-1)}} \quad \text{for } n\geq 2.$$ 上述结果允许我们证明边界 $$|2^nf(A-A)-(2^n-1)f(A-A)| \gg_{f,n,I} |A|^{1+\phi(n)}$$ 其中 $f$ 是一个解析函数，其任意 $n$ 个互不相同的非平凡离散导数 $f'$ 在线性无关。例如，任何次数大于等于 $n+1$ 的多项式函数都满足这一条件。我们还检查了函数 $\arctan(e^x)$ 在 $n=3$ 时的条件，允许我们改进近期 Roche-Newton 关于笛卡尔积中角集合加法增长界限的結果。