射影直线上 $\mathbb{Z}_p$-覆盖的 $L$-函数斜率

设 $\mathcal{P}: \cdots \rightarrow C_2\rightarrow C_1\rightarrow {\mathbb P}^1$ 为基数 $q$、特征 $p$ 的有限域上射影直线的 $\mathbb{Z}_p$-覆盖，其在恰好一个有理点处分支，而在其他点处非分支。本文我们研究对应于 $\mathcal{P}$ 的伽罗瓦群特征的 $L$-函数在 $\mathbb{C}_p$ 中的倒数根的 $q$-进赋值。我们证明，对于所有满足当 $n$ 很大时 $C_n$ 的亏格为 $p^n$ 的二次多项式的覆盖 $\mathcal{P}$，这些倒数根的赋值在区间 $[0,1]$ 中均匀分布。此外，我们证明对于此类覆盖的一大类，倒数根的赋值实际上构成等差数列的有限并。