关于具有完全非对角热核估计的对称扩散能量测度奇异性 II:若干临界例子

我们给出一类具体的分形,称之为(二维)细尺度不规则 Sierpiński 垫,其中每一个都装备有一个典范的强局部正则对称 Dirichlet 型。我们证明该族中任一分形 $K$ 满足关于某时空尺度函数 $\Psi_{K}$ 的完全非对角热核估计,以及关于 $K$ 上典范体积测度(均匀分布)的伴随能量测度的奇异性,并且通过适当选取 $K$ 可使 $r^{-2}\Psi_{K}(r)$ 当 $r\downarrow 0$ 时趋于 $0$ 的衰减速率任意慢。这些结果共同支持了能量测度奇异性二分猜想[Ann. Probab. 48 (2020), no. 6, 2920--2951, Conjecture 2.15],该猜想称:若具有完备度量的强局部正则对称 Dirichlet 空间上成立关于满足 $\lim_{r\downarrow 0}r^{-2}\Psi(r)=0$ 的时空尺度函数 $\Psi$ 的完全非对角热核估计,则其伴随能量测度相对于该 Dirichlet 空间的参考测度是奇异的。