关于沿所有直线连续函数的不连续点集

为回答K.C. Ciesielski与T. Glatzer于2013年提出的一个问题，我们构造了[0,1]上的$C^1$光滑函数$f$以及$\operatorname{graph} f$中在$\operatorname{graph} f$内无处稠密的集合$M$，使得不存在$\mathbb R^2$上任何沿直线连续的函数（即沿所有直线连续的函数）在$M$的每一点处不连续。我们实质性地使用了T. Banakh与O. Maslyuchenko于2020年证明的$\mathbb R^n$上沿直线连续函数不连续点集的最近完整刻画。作为我们结果的一个简单推论，我们证明了S.G. Slobodnik于1976年证明的此类不连续点集的必要条件是不充分的。我们还证明了Slobodnik该结果在可分Banach空间中的类似结论。